Bài 4 (trang 7 SGK Toán 9 Tập 1)
Tìm số x không âm, biết:
a) $\sqrt{x} = 15$; b) $2\sqrt{x} = 14$;
c) $\sqrt{x} < \sqrt{2}$; d) $\sqrt{2x} < 4$
Bài 74 (trang 40 SGK Toán 9 Tập 1)
Tìm $x$, biết:
a) $\sqrt{(2 x-1)^{2}}=3$;
b) $\dfrac{5}{3} \sqrt{15 x}-\sqrt{15 x}-2=\dfrac{1}{3} \sqrt{15 x}$.
a, \(\sqrt{\left(2x-1\right)^2}=3\Leftrightarrow\left|2x-1\right|=3\)
Với \(x\ge\frac{1}{2}\)pt có dạng : \(2x-1=3\Leftrightarrow x=2\)( tm )
Với \(x< \frac{1}{2}\)pt có dạng : \(-2x+1=3\Leftrightarrow x=-1\)( tm )
Vậy tập nghiệm của pt là S = { -1 ; 2 }
b, \(\frac{5}{3}\sqrt{15x}-\sqrt{15x}-2=\frac{1}{3}\sqrt{15x}\)ĐK : \(x\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{2}{3}\sqrt{15x}-2=\frac{1}{3}\sqrt{15x}\Leftrightarrow\frac{1}{3}\sqrt{15x}=2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{15x}=6\)bình phương 2 vế : \(\Leftrightarrow15x=36\Leftrightarrow x=\frac{36}{15}=\frac{12}{5}\)( tm )
Vậy tập nghiệm của pt là S = { 12/5 }
a)
+) TH1:
+) TH2:
Vậy ; .
b) Điều kiện:
Vậy .
Bài 55 (trang 30 SGK Toán 9 Tập 1)
Phân tích thành nhân tử (với a, b, x, y là các số không âm)
a) $a b+b \sqrt{a}+\sqrt{a}+1$;
b) $\sqrt{x^{3}}-\sqrt{y^{3}}+\sqrt{x^{2} y}-\sqrt{x y^{2}}$.
a, \(ab+b\sqrt{a}+\sqrt{a}+1=\sqrt{a}b\left(\sqrt{a}+1\right)+\sqrt{a}+1\)
\(=\left(b\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)\)
b, \(\sqrt{x^3}-\sqrt{y^3}+\sqrt{x^2y}-\sqrt{xy^2}\)
\(=\sqrt{x^2}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)-\sqrt{y^2}\left(\sqrt{y}+\sqrt{x}\right)=\left(\left|x\right|-\left|y\right|\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\)
a) \(ab+b\sqrt{a}+\sqrt{a}+1=b\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+1\right)+\left(\sqrt{a}+1\right)=\left(b\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)\)
b) \(\sqrt{x^3}-\sqrt{y^3}+\sqrt{x^2y}-\sqrt{xy^2}=x\sqrt{x}-y\sqrt{y}+x\sqrt{y}-y\sqrt{x}=x\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)-y\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)=\left(x-y\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\)
Bài 25 (trang 16 SGK Toán 9 Tập 1)
Tìm $x$, biết:
a) $\sqrt{16x}=8$ ; b) $\sqrt{4x}=\sqrt{5}$ ;
c) $\sqrt{9(x−1)}=21$ ; d) $\sqrt{4(1−x)^2}−6=0$.
a) Điều kiện: x≥0x≥0
√16x=816x=8⇔(√16x)2=82⇔(16x)2=82 ⇔16x=64⇔16x=64 ⇔x=6416⇔x=4⇔x=6416⇔x=4 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy x=4x=4.
Cách khác:
√16x=8⇔√16.√x=8⇔4√x=8⇔√x=2⇔x=22⇔x=416x=8⇔16.x=8⇔4x=8⇔x=2⇔x=22⇔x=4
b) Điều kiện: 4x≥0⇔x≥04x≥0⇔x≥0
√4x=√54x=5 ⇔(√4x)2=(√5)2⇔4x=5⇔x=54⇔(4x)2=(5)2⇔4x=5⇔x=54 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy x=54x=54.
c) Điều kiện: 9(x−1)≥0⇔x−1≥0⇔x≥19(x−1)≥0⇔x−1≥0⇔x≥1
√9(x−1)=219(x−1)=21⇔3√x−1=21⇔3x−1=21⇔√x−1=7⇔x−1=7 ⇔x−1=49⇔x=50⇔x−1=49⇔x=50 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy x=50x=50.
Cách khác:
√9(x−1)=21⇔9(x−1)=212⇔9(x−1)=441⇔x−1=49⇔x=509(x−1)=21⇔9(x−1)=212⇔9(x−1)=441⇔x−1=49⇔x=50
d) Điều kiện: x∈Rx∈R (vì 4.(1−x)2≥04.(1−x)2≥0 với mọi x)x)
√4(1−x)2−6=04(1−x)2−6=0⇔2√(1−x)2=6⇔2(1−x)2=6 ⇔|1−x|=3⇔|1−x|=3 ⇔[1−x=31−x=−3⇔[1−x=31−x=−3 ⇔[x=−2x=4⇔[x=−2x=4
Vậy x=−2;x=4.
a, \(\sqrt{16x}=8\Leftrightarrow4\sqrt{x}=8\Leftrightarrow\sqrt{x}=2\Leftrightarrow x=4\)
b, \(\sqrt{4x}=\sqrt{5}\)ĐK : x \(\ge0\)
bình phương 2 vế ta được : \(4x=5\Leftrightarrow x=\frac{5}{4}\)
c, \(\sqrt{9\left(x-1\right)}=21\Leftrightarrow3\sqrt{x-1}=21\Leftrightarrow\sqrt{x-1}=7\)
bình phương 2 vế ta được : \(x-1=49\Leftrightarrow x=50\)
d, \(\sqrt{4\left(1-x\right)^2}-6=0\Leftrightarrow2\left|1-x\right|=6\Leftrightarrow\left|1-x\right|=3\)
TH1 : \(1-x=3\Leftrightarrow x=-2\)
TH2 : \(1-x=-3\Leftrightarrow x=4\)
a) Điều kiện: .
(thỏa mãn điều kiện).
Vậy .
b) Điều kiện: .
(thỏa mãn điều kiện).
.
c) Điều kiện:
Bài 12 (trang 11 SGK Toán 9 Tập 1)
Tìm x để mỗi căn thức sau có nghĩa:
a) $\sqrt{2x+7}$ ; b) $\sqrt{-3x+4}$ ; c) $\sqrt{\dfrac{1}{-1+x}}$ ; d) $\sqrt{1+x^2}$.
a) √2x+7
Để √2x+7 có nghĩa⇔2x+7≥0
⇔2x≥-7
⇔x≥−7/2
b) √−3x+4
Để √−3x+4 có nghĩa ⇔-3x+4≥≥0
⇔-3x≥-4
⇔x≤4/3
c)√1/−1+x1
Để √1/−1+x có nghĩa ⇔1/−1+x≥0
⇔-1+x>0
⇔x>1
d) √1+x21+x2
Ta có x2+1≥≥1>0;∀x∈R
Vậy x∈R
+a) \(\sqrt{2x+7}\) co nghia khi 2x+7≥0⇒x≥\(\dfrac{-7}{2}\)
b) \(\sqrt{-3x+4}\) co nghia khi -3x+4≥0⇒x≤\(\dfrac{4}{3}\)
c) \(\sqrt{\dfrac{1}{-1+x}}\) cp nghia khi \(\dfrac{1}{-1+x}\)≥0 ⇒-1+x>0⇒x>1
d) \(\sqrt{1+x^2}\) co nghia khi 1+x2 ≥0 ma \(x^2\)≥0⇒\(x^2\) + 1≥1>0 vs moi x
a, Để √(2x+7) xác định thì 2x+7 ≥ 0 <=> x ≥ -7/2
b, Để √(-3x+4) xác định thì 4-3x ≥ 0 <=> 4/3 ≥ x
c, √(1/-1+x) xác định thì 1/-1+x ≥ 0 <=> x-1 >0 <=> x> 1
d, √(1+x^2) xác định thì 1+x^2 ≥ 0 mà x^2 ≥0 <=> x^2+1 ≥ 1 ( T/mãn)
Bài 9 (trang 11 SGK Toán 9 Tập 1)
Tìm x biết:
a) $\sqrt{x^2}=7$ ; b) $\sqrt{x^2}=|-8|$ ;
c) $\sqrt{4x^2}=6$ ; d) $\sqrt{9x^2}=|-12|$.
a) \(\sqrt{x^2}\)=7
=> x2=49
=> x={-7;7}
b) \(\sqrt{x^2}\)=|-8|=8
=> x2=64
=>x={-8;8}
c) \(\sqrt{4x^2}\)=6
4x2=36
=>x2=9
=> x={-3;3}
d)\(\sqrt{9x^2}\)=|-12|=12
=> 9x2=144
=> x2=16
=> x={-4;4}
a)x=+7 hoặc x= -7
b) x=8 hoặc x= -8
c)x=3 hoặc x =-3
d) x=4 hoặc x= -4
a) \(\sqrt{x^2}=7\)⇒\(|x|\)=7⇒xϵ{7:-7}
b) \(\sqrt{x^2}\) = \(|-8|\)⇒xϵ{8:-8}
c) \(\sqrt{4x^2}\)=6⇒xϵ{3:-3}
d) \(\sqrt{9x^2}\) = \(|\)-12\(|\)⇒xϵ{4:-4}
Bài 73 (trang 40 SGK Toán 9 Tập 1)
Rút gọn rồi tính giá trị các biểu thức sau:
a) $\sqrt{-9 a}-\sqrt{9+12 a+4 a^{2}}$ tại $a=-9$; b) $1+\dfrac{3 m}{m-2} \sqrt{m^{2}-4 m+4}$ tại $m=1,5$;
c) $\sqrt{1-10 a+25 a^{2}}-4 a$ tại $a=\sqrt{2}$; d) $4 x-\sqrt{9 x^{2}+6 x+1}$ tại $x=-\sqrt{3}$.
a)
Thay ta được:
.
b) Điều kiện:
+) , ta được: .
+) , ta được: .
Với . Thay vào biểu thức ta có:
Vậy giá trị biểu thức tại là .
c)
a) \(\sqrt{-9a}-\sqrt{9+12a+4a^2}=\sqrt{-9a}-\sqrt{\left(2a+3\right)^2}=\sqrt{-9a}-2a-3=\sqrt{\left(-9\right)^2}+18-3=9+18-3=24\)
b) \(1+\dfrac{3m}{m-2}\sqrt{m^2-4m+4}=1+\dfrac{3m}{m-2}.\left(m-2\right)=3m+1=3.1,5+1=5,5\)
c) \(\sqrt{1-10a+25a^2}-4a=\sqrt{\left(5a-1\right)^2}-4a=5a-1-4a=a-1=\sqrt{2}-1\)
d) \(4x-\sqrt{9x^2+6x+1}=4x-\sqrt{\left(3x+1\right)^2}=4x-3x-1=x-1=-\sqrt{3}-1\)
Bài 60 (trang 33 SGK Toán 9 Tập 1)
Cho biểu thức $B=\sqrt{16 x+16}-\sqrt{9 x+9}+\sqrt{4 x+4}+\sqrt{x+1}$ với $x \geq-1$.
a) Rút gọn biểu thức $B$;
b) Tìm $x$ sao cho $B$ có giá trị là $16$.
\(a,B=4\sqrt{x=1}-3\sqrt{x+1}+2\)\(\sqrt{x+1}+\sqrt{x+1}\)
\(=4\sqrt{x+1}\)
\(b,\)đưa về \(\sqrt{x+1}=4\Rightarrow x=15\)
a, Với \(x\ge-1\)
\(\Rightarrow B=4\sqrt{x+1}-3\sqrt{x+1}+2\sqrt{x+1}+\sqrt{x+1}\)
\(=4\sqrt{x+1}\)
b, Ta có B = 16 hay
\(4\sqrt{x+1}=16\Leftrightarrow\sqrt{x+1}=4\)bình phương 2 vế ta được
\(\Leftrightarrow x+1=16\Leftrightarrow x=15\)
a) B = 4√x+1 b) x = 15
Bài 46 (trang 27 SGK Toán 9 Tập 1)
Rút gọn các biểu thức sau với $x \ge 0$:
a) $2 \sqrt{3x}-4 \sqrt{3x}+27-3 \sqrt{3 x}$ ; b) $3 \sqrt{2 x}-5 \sqrt{8 x}+7 \sqrt{18 x}+28$.
Rút gọn các biểu thức sau với x≥0x≥0:
a) 2\(\sqrt{3x}\)-4\(\sqrt{3x}\)+27-3\(\sqrt{3x}\)=27-5\(\sqrt{3x}\)
b)3\(\sqrt{2x}\)-5\(\sqrt{8x}\)+7\(\sqrt{18x}\)+28
=3\(\sqrt{2x}\)-10\(\sqrt{2x}\)+21\(\sqrt{2x}\)+28
=14\(\sqrt{2x}\)+28=14(\(\sqrt{2x}\)+2)
a) \(2\sqrt{3x}-4\sqrt{3x}+27-3\sqrt{3x}\)
\(=\left(2\sqrt{3x}-4\sqrt{3x}-3\sqrt{3x}\right)+27\)
\(=-5\sqrt{3x}+27\)
b) \(3\sqrt{2x}-5\sqrt{8x}+7\sqrt{18x}+28\)
\(=3\sqrt{2x}-5\sqrt{4.2x}+7\sqrt{9.2x}+28\)
\(=3\sqrt{2x}-5\sqrt{2^2.2x}+7\sqrt{3^2.2x}+28\)
\(=3\sqrt{2x}-5.2\sqrt{2x}+7.3\sqrt{2x}+28\)
\(=\left(3\sqrt{2x}-5.2\sqrt{2x}+7.3\sqrt{2x}\right)+28\)
\(=\left(3-10+21\right)\sqrt{2x}+28\)
\(=14\sqrt{2x}+28\)
Tìm số x không âm, biết:
a. \(\sqrt{x}=15;\)
b. \(2\sqrt{x}=14;\)
c. \(\sqrt{x}< \sqrt{2};\)
d. \(\sqrt{2x}< 4.\)
Với câu c, Thiên Anh nên thêm điều kiện để phần kết luận là: \(0\le x< 2.\)
a) Vận dụng điều lưu ý trong phần tóm tắt kiến thức: "Nếu a ≥ 0 thì a = (\(\sqrt{a}\))2":
Ta có x = (\(\sqrt{x}\))2 = 152 = 225;
b) Từ 2√x = 14 suy ra √x = 14:2 = 7
Vậy x = (√x)2 = 72 = 49.
c) Vận dụng định lí trong phần tóm tắt kiến thức.
Trả lời: 0 ≤ x < 2.
d) Đổi 4 thành căn bậc hai của một số.
Trả lời: 0 ≤ x < 8.